Отрезок MA – перпендикуляр к плоскости ромба ABCD. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и MCD, если MA = AB, угол ABC = 120°.

Дано:

• $ABCD$ — ромб;

• $MA\perp (ABCD)$;

• $MA=AB$;

• $\angle ABC=120^\circ$.

Найти: $\tan\varphi$, где $\varphi$ — угол между плоскостями $ABC$ и $MCD$.

Решение:

1. Рассмотрим ромб $ABCD$.

Так как в ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$, то

Все стороны ромба равны, поэтому

2. Рассмотрим треугольник $MAD$.

По условию $MA\perp (ABCD)$, следовательно,

Значит, треугольник $MAD$ прямоугольный, причём

Следовательно, он равнобедренный прямоугольный:

3. Найдём угол между плоскостями $ABC$ и $MCD$.

Поскольку $AD\perp CD$ (диагонали и стороны ромба здесь не нужны: это следует из того, что соседние углы ромба не равны $90^\circ$? Нет, поэтому воспользуемся другим способом).

Опустим из точки $A$ перпендикуляр к прямой $CD$. Обозначим основание перпендикуляра через $H$.

Так как $AB\parallel CD$, расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно высоте ромба.

Из треугольника с углом $60^\circ$:

При этом проекция $MA$ на плоскость ромба равна нулю, а $MA=AB$.

Угол между плоскостями определяется через сечение, перпендикулярное их линии пересечения $CD$. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник с катетами $MA$ и $AH$.

Поэтому

Подставим значения:

Рационализируем знаменатель: