Высота боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна 10. Определите объём пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов.

Обозначим высоту пирамиды через \(h\), а расстояние от центра основания до середины его стороны — через \(r\). Рассмотрим сечение через вершину пирамиды, центр основания и середину стороны основания.

Угол между боковой гранью и основанием равен \(45^\circ\), поэтому:

\[\tan 45^\circ=\frac{h}{r}\]

Так как \(\tan 45^\circ=1\), получаем \(h=r\).

Высота боковой грани равна \(10\), значит:

\[10^2=h^2+r^2=2h^2\]

\[h=5\sqrt{2}\]

Сторона квадратного основания:

\[a=2r=10\sqrt{2}\]

Площадь основания:

\[S=a^2=200\]

Объём пирамиды:

\[V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot200\cdot5\sqrt{2}\]

Ответ: \(\frac{1000\sqrt{2}}{3}\).

0 0 Пожаловаться