Окружность с центром O проходит через вершины A и B треугольника ABC и пересекает сторону AC в точке M и сторону BC в точке N. Углы AOM и BON равны 60 градусов. Расстояние от точки N до прямой AB равно 5√3. Отрезок MN в четыре раза меньше отрезка AB. Найдите площадь треугольника ABC.

Равные центральные углы дают равные хорды: \(AM=BN\). Поэтому \(MN\parallel AB\), а треугольники \(CMN\) и \(CAB\) подобны.

Так как \(MN=\dfrac{AB}{4}\), расстояние между прямыми \(MN\) и \(AB\) составляет \(\dfrac34\) высоты треугольника. Тогда

\[\dfrac34H=5\sqrt3,\qquad H=\dfrac{20\sqrt3}{3}.\]

Из условий о хордах и углах \(60^\circ\) получается \(AB=24\). Тогда площадь:

\[S_{ABC}=\dfrac12\cdot24\cdot\dfrac{20\sqrt3}{3}=80\sqrt3.\]

Ответ: \(80\sqrt3\).

0 0 Пожаловаться