Окружность с центром О касается катета АС и проходит через вершину В прямоугольного треугольника АВС с катетами ВС = 6, АС = 8; точка О лежит на гипотенузе АВ (рис.). Найдите радиус этой окружности, используя определение синуса острого угла.

Гипотенуза:

\[AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.\]

Пусть радиус окружности равен \(r\). Так как окружность касается катета \(AC\), расстояние от точки \(O\) до \(AC\) равно \(r\). Точка \(O\) лежит на \(AB\), а окружность проходит через \(B\), поэтому \(OB=r\). Тогда

\[AO=AB-OB=10-r.\]

В прямоугольном треугольнике \(ABC\):

\[\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.\]

Расстояние от \(O\) до катета \(AC\) равно:

\[r=AO\cdot\sin A=(10-r)\cdot\frac{3}{5}.\]

\[5r=30-3r,\qquad 8r=30,\qquad r=\frac{15}{4}.\]

Ответ: \(\frac{15}{4}\) см, или \(3{,}75\) см.

0 0 Пожаловаться