Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а сумма синусов его острых углов равна q. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза — \(c\).

Синусы острых углов равны \(\frac{a}{c}\) и \(\frac{b}{c}\). По условию:

\[\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=q,\]

значит, \(a+b=cq\).

Возведём это равенство в квадрат:

\[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.\]

Так как \(a^2+b^2=c^2\), получаем:

\[c^2q^2=c^2+2ab.\]

Следовательно, \(ab=\frac{c^2(q^2-1)}{2}\). Площадь равна половине произведения катетов:

\[S=\frac{ab}{2}=\frac{c^2(q^2-1)}{4}.\]

Ответ: \[S=\frac{c^2(q^2-1)}{4}.\]

0 0 Пожаловаться