Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм, если его вершины являются серединами сторон прямоугольника; ромба.

Пусть \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — середины последовательных сторон четырёхугольника \(PQRS\). Это рассуждение подходит и для прямоугольника, и для ромба.

В треугольнике \(PQR\) отрезок \(AB\) соединяет середины двух сторон, поэтому \(AB\parallel PR\). В треугольнике \(PSR\) отрезок \(DC\) также соединяет середины двух сторон, значит \(DC\parallel PR\). Следовательно, \(AB\parallel CD\).

В треугольнике \(QRS\) получаем \(BC\parallel QS\), а в треугольнике \(QPS\) — \(AD\parallel QS\). Поэтому \(BC\parallel AD\).

У четырёхугольника \(ABCD\) обе пары противоположных сторон параллельны, значит \(ABCD\) — параллелограмм.

0 0 Пожаловаться