3. Докажите, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы. 4. Угол треугольника равен сумме двух других его углов.

3. Пусть \(ABC\) — равнобедренный прямоугольный треугольник, \(\angle C=90^\circ\), а \(AC=BC=a\). Тогда по теореме Пифагора:

\[AB=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.\]

Пусть \(CH\) — высота, проведённая к гипотенузе \(AB\). Площадь треугольника можно найти двумя способами:

\[S=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{a^2}{2},\]

\[S=\frac{AB\cdot CH}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot CH}{2}.\]

Приравняем выражения площади:

\[\frac{a^2}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot CH}{2}.\]

Отсюда \(CH=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Но \(AB=a\sqrt{2}\), значит:

\[CH=\frac{AB}{2}.\]

Следовательно, высота, проведённая из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы.

4. Это утверждение неверно для внутреннего угла треугольника. Сумма всех углов треугольника равна \(180^\circ\). Например, в треугольнике с углами \(50^\circ\), \(60^\circ\) и \(70^\circ\) ни один угол не равен сумме двух других.

Верное утверждение: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

0 0 Пожаловаться