Двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды равен альфа, сторона основания равна 1. Найти объем пирамиды.
Помогите, пожалуйста! Со всех сторон пытался подобраться, но не понимаю как воспользоваться углом, что дан в задаче. По сути высоту и сторону грани нужно вычислить, но у меня никак не выходит

Пусть высота пирамиды равна \(h\), а сторона основания равна \(1\). Рассмотрим двугранный угол \(\alpha\) при боковом ребре.

Из сечения, перпендикулярного этому ребру, получается соотношение:

\[\cos\alpha=-\frac{1}{4h^2+1}\]

Отсюда

\[h=\frac12\sqrt{-\frac{1+\cos\alpha}{\cos\alpha}}\]

Площадь квадратного основания равна \(1\), поэтому

\[V=\frac13\cdot1\cdot h\]

Следовательно,

\[V=\frac16\sqrt{-\frac{1+\cos\alpha}{\cos\alpha}}\]

Здесь \(\alpha\) — внутренний двугранный угол при боковом ребре; для такой пирамиды он больше \(90^\circ\).

0 0 Пожаловаться