Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник с диагональю 4 см и углом 60 градусов между диагоналями. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Найти объём пирамиды.

Площадь основания выразим через диагонали прямоугольника:

\[ S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}d_1d_2\sin 60^\circ=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ см}^2. \]

Высота пирамиды опускается в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Расстояние от этой точки до вершины основания равно половине диагонали:

\[ R=\frac{4}{2}=2\text{ см}. \]

Так как боковое ребро наклонено к основанию под углом \(45^\circ\), то

\[ \tan45^\circ=\frac{h}{R},\qquad h=2\text{ см}. \]

Тогда объём:

\[ V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot2=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}^3. \]

Ответ: \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}^3\).

0 0 Пожаловаться