Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны.

Пусть четырёхугольник \(ABCD\) описан около окружности. Обозначим длины касательных, проведённых из одной вершины к окружности:

\(AK=AN=a\), \(BK=BM=b\), \(CM=CL=c\), \(DN=DL=d\).

Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны. Тогда:

\(AB=a+b\), \(BC=b+c\), \(CD=c+d\), \(AD=a+d\).

Сложим противоположные стороны:

\(AB+CD=(a+b)+(c+d)=a+b+c+d\).

\(BC+AD=(b+c)+(a+d)=a+b+c+d\).

Значит, \(AB+CD=BC+AD\). Суммы противоположных сторон равны.

0 0 Пожаловаться