Как Петру Гринёву удалось избежать казни и присяги Пугачёву в произведении "Капитанская дочка"?

Потому что у Пугачёва были личные причины его пощадить и уважение к его прямоте.
Когда Гринёва после взятия Белогорской крепости привели на расправу, Пугачёв узнал в нём того самого молодого офицера, который зимой в степи приютил безымянного проводника и подарил ему заячий тулуп. Это старое доброе дело сработало как «индульгенция»: Пугачёв велел не вешать Гринёва.

Дальше самозванец предложил ему присягнуть. Гринёв не стал юлить: сказал, что уже присягал государыне и изменником быть не может. Вместо того чтобы наказать за отказ, Пугачёв оценил честность — «любит правду» — и не только не принудил к присяге, но и отпустил, дав охранную грамоту (пропуск), чтобы его не трогали мятежники. Именно эта сочетанная причина — память о тулупе и уважение к непродажной присяге — спасла Гринёву жизнь и избавила от присяги Пугачёву.