В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC = 3√3. Найти AC.

Решение

1. Найдём третий угол треугольника.

   $$\angle C \;=\; 180^{\circ}-\angle A-\angle B = 180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}.$$

2. Применим закон синусов.
   В любом треугольнике

   $$\frac{BC}{\sin\angle A} =\frac{AC}{\sin\angle B} =\frac{AB}{\sin\angle C}.$$

   Нас интересует сторона $AC$, лежащая напротив угла $B$.

3. Подставим известные величины.

   $$AC =BC\cdot\frac{\sin\angle B}{\sin\angle A} =3\sqrt{3}\cdot\frac{\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}}.$$

4. Вычислим синусы острых углов.

   $$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

5. Сократим дробь и найдём значение $AC$.

   $$AC =3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2} =3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3} =3\sqrt{2}.$$

Ответ: $\displaystyle AC = 3\sqrt{2}.$