Куб вписан в шар. Найдите площадь поверхности шара, если ребро куба равно √6 дм.

Для решения задачи воспользуемся геометрией куба и шара.

1. Определим связь между кубом и шаром. Если куб вписан в шар, то его диагональ является диаметром шара. Чтобы найти диагональ куба, используем формулу для диагонали куба с ребром длины $a$:

   $$d_{\text{куба}} = a \sqrt{3}$$

   Где $a$ — это длина ребра куба. В данной задаче ребро куба равно $\sqrt{6}$ дм, значит:

   $$d_{\text{куба}} = \sqrt{6} \times \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \, \text{дм}$$

2. Диаметр шара равен диагонали куба, то есть $3\sqrt{2}$ дм. Радиус шара будет равен половине диаметра:

   $$r = \frac{3\sqrt{2}}{2} \, \text{дм}$$

3. Найдем площадь поверхности шара. Формула для площади поверхности шара:

   $$S_{\text{шар}} = 4\pi r^2$$

   Подставим значение радиуса $r = \frac{3\sqrt{2}}{2}$:

   $$S_{\text{шар}} = 4\pi \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4\pi \times \frac{18}{4} = 18\pi \, \text{дм}^2$$

Таким образом, площадь поверхности шара равна $18\pi$ квадратных дециметров.