1) х|х| = 3х 2) х|х| = -4|х|

Для того чтобы решить данные уравнения, рассмотрим каждый случай по отдельности.

Уравнение 1: $x |x| = 3x$

Рассмотрим два возможных случая для $|x|$ — в зависимости от того, является ли $x$ положительным или отрицательным:

1. Если $x \geq 0$, то $|x| = x$:

   Уравнение превращается в $x \cdot x = 3x$, или $x^2 = 3x$. Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 - 3x = 0$$

   Далее, можно вынести общий множитель:

   $$x(x - 3) = 0$$

   Таким образом, $x = 0$ или $x = 3$.

   Проверим:

   • Для $x = 0$ уравнение $x|x| = 3x$ превращается в $0 = 0$, что верно.

   • Для $x = 3$ уравнение $3|3| = 3 \cdot 3$ превращается в $9 = 9$, что также верно.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$:

   Уравнение становится $x \cdot (-x) = 3x$, или $-x^2 = 3x$. Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 + 3x = 0$$

   Выносим общий множитель:

   $$x(x + 3) = 0$$

   Таким образом, $x = 0$ или $x = -3$.

   Проверим:

   • Для $x = 0$ уравнение снова превращается в $0 = 0$, что верно.

   • Для $x = -3$ уравнение $-3 \cdot | -3 | = 3 \cdot (-3)$ превращается в $-3 \cdot 3 = -9$, что верно.

Итак, решения уравнения $x |x| = 3x$ — это $x = 0, 3, -3$.

Уравнение 2: $x |x| = -4 |x|$

Рассмотрим два случая для $|x|$.

1. Если $x = 0$, то обе стороны уравнения равны нулю, и уравнение выполняется:

   $$0 \cdot 0 = -4 \cdot 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0$$

2. Если $x > 0$, то $|x| = x$, и уравнение становится:

   $$x \cdot x = -4 \cdot x$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 + 4x = 0$$

   Выносим общий множитель:

   $$x(x + 4) = 0$$

   Таким образом, $x = 0$ или $x = -4$, но $x > 0$, поэтому $x = -4$ не подходит. Таким образом, в данном случае решения нет.

3. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение превращается в:

   $$x \cdot (-x) = -4 \cdot (-x)$$

   Это упрощается до:

   $$-x^2 = 4x$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 + 4x = 0$$

   Выносим общий множитель:

   $$x(x + 4) = 0$$

   Таким образом, $x = 0$ или $x = -4$, и $x = -4$ подходит. Проверим:

   • Для $x = -4$ уравнение $-4 \cdot | -4 | = -4 \cdot (-4)$ превращается в $-4 \cdot 4 = 16$, что верно.

Итак, решение уравнения $x |x| = -4 |x|$ — это $x = -4$.

Ответ:

1. Для уравнения $x |x| = 3x$ решения: $x = 0, 3, -3$.

2. Для уравнения $x |x| = -4 |x|$ решение: $x = -4$.