Докажите, что при любом натуральном n: а) если n^2-1 четно, то n^2-1 делится на 8; б) если n^3-4n четно, то n^3-4n делится на 48

а) Докажем, что если $n^2 - 1$ чётно, то $n^2 - 1$ делится на 8

Пусть $n$ — натуральное число, такое что $n^2 - 1$ чётно.

Запишем:

Это произведение двух последовательных нечётных или чётных чисел в зависимости от чётности $n$. Но для $n^2 - 1$ быть чётным, нужно, чтобы либо $n$ было нечётным, тогда $n^2 \equiv 1 \mod 4$, и $n^2 - 1 \equiv 0 \mod 4$, либо $n$ чётно, тогда $n^2$ чётно и $n^2 - 1$ нечётно — противоречие. Значит, $n$ нечётно.

Таким образом, $n$ — нечётное, значит, $n-1$ и $n+1$ — чётные числа, причём подряд идущие чётные числа (например, при $n = 3$: $2 \cdot 4 = 8$). Значит, они кратны 2 и отличаются на 2, то есть одно из них делится на 4, другое — на 2.

То есть произведение $(n-1)(n+1)$ делится на $4 \cdot 2 = 8$.

Следовательно,

Вывод: если $n^2 - 1$ чётно, то оно делится на 8.

б) Докажем, что если $n^3 - 4n$ чётно, то оно делится на 48

Рассмотрим выражение:

Это произведение трёх последовательных чётных или нечётных чисел с шагом 2.

Пусть $n$ — натуральное число, такое что $n^3 - 4n$ чётно.

1. Делимость на 2:
   По условию $n^3 - 4n$ чётно, значит, делится на 2.

2. Делимость на 3:
   Среди трёх чисел $n - 2, n, n + 2$ обязательно одно делится на 3, так как они идут с шагом 2 и покрывают все возможные остатки по модулю 3. Например, если $n \equiv 0 \mod 3$, то делится само $n$. Если $n \equiv 1$, то $n - 2 \equiv -1 \equiv 2$, а $n + 2 \equiv 3 \equiv 0$. Аналогично в других случаях. Значит:

   $$n(n - 2)(n + 2) \divisible 3$$

3. Делимость на 4:
   Среди трёх чисел $n - 2, n, n + 2$, по крайней мере одно делится на 2, но мы хотим доказать делимость на 4. Заметим, что если $n$ чётно, то $n \divisible 2$, и одно из $n - 2$ или $n + 2$ также чётное, при этом как минимум одно из них делится на 4. Аналогично, если $n$ нечётно, то $n - 2$ и $n + 2$ — чётные, и среди них одно делится на 4. Таким образом, произведение всегда делится на 4.

Следовательно:

Но это пока что только 24. Однако по условию $n^3 - 4n$ чётно, а значит делится на 2, и если в этом случае выражение делится на 48, то получается:

Значит, нам нужно доказать, что если $n^3 - 4n$ чётно, то оно делится не только на 24, но на 48. Это возможно только в том случае, если в этом случае дополнительно выражение делится ещё на 2 (чтобы 24 превратилось в 48).

Уточним:
Если $n$ — чётное, то:

• $n \divisible 2$

• $n^2$ — чётное, $4n$ — чётное, $n^3$ — чётное → $n^3 - 4n$ — чётное

Проверим делимость на 16:

Возьмём $n = 4$:

Возьмём $n = 6$:

Проверим делимость на 16.