Найдите наименьшее значение функции y = 4x-ln (x+3)^4 на отрезке [2,5;0]

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 4x - \ln{(x+3)^4}$ на отрезке $[0, 5]$, будем следовать следующим шагам:

1. Приведем функцию к более удобному виду:

   Мы можем упростить выражение для логарифма:

   $$\ln{(x+3)^4} = 4 \ln{(x+3)}.$$

   Таким образом, наша функция примет вид:

   $$y = 4x - 4\ln{(x+3)}.$$

2. Найдем производную функции:

   Для поиска критических точек, нужно вычислить производную функции $y$:

   $$y'(x) = \frac{d}{dx}\left( 4x - 4\ln{(x+3)} \right).$$

   Производная от $4x$ равна 4, а производная от $-4\ln{(x+3)}$ по правилу дифференцирования логарифма:

   $$\frac{d}{dx}\left( -4\ln{(x+3)} \right) = -4 \cdot \frac{1}{x+3}.$$

   Таким образом, получаем:

   $$y'(x) = 4 - \frac{4}{x+3}.$$

3. Найдем критические точки:

   Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

   $$4 - \frac{4}{x+3} = 0.$$

   Решаем это уравнение:

   $$\frac{4}{x+3} = 4 \quad \Rightarrow \quad x+3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -2.$$

   Однако $x = -2$ не принадлежит отрезку $[0, 5]$, поэтому критической точки на отрезке нет.

4. Найдем значения функции на концах отрезка:

   Так как на отрезке $[0, 5]$ нет критических точек, проверим значения функции на концах отрезка:

   Для $x = 0$:

   $$y(0) = 4(0) - 4\ln{(0+3)} = -4 \ln{3}.$$

   Для $x = 5$:

   $$y(5) = 4(5) - 4\ln{(5+3)} = 20 - 4\ln{8}.$$

5. Сравним значения:

   Рассчитаем эти значения:

   $$y(0) = -4 \ln{3} \approx -4 \cdot 1.0986 = -4.3944,$$ $$y(5) = 20 - 4 \ln{8} \approx 20 - 4 \cdot 2.0794 = 20 - 8.3176 = 11.6824.$$

6. Ответ:

   На отрезке $[0, 5]$ наименьшее значение функции принимает при $x = 0$, и оно равно $-4.3944$.