Есть набор из 18 чисел: 1, 2, 3, 4, ..., 9 и 1/1, 1/2, 1/3, ..., 1/9. Их разбили на 6 групп по 3 числа и числа в каждой группе перемножили. Какое наибольшее количество из этих 6 произведений могло оказаться целым числом?

Для решения задачи важно разобраться с числами, из которых состоит набор.

Набор включает 18 чисел:

• Целые числа от 1 до 9: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

• Дроби от $1/1$ до $1/9$: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}$

Каждое произведение чисел в группе состоит из трех чисел. Мы должны выяснить, какое наибольшее количество из этих произведений может быть целым числом.

Разбор условий

Число будет целым, если в произведении чисел в группе можно сократить дроби так, чтобы результат не был дробным. Это возможно только если произведение чисел в группе будет иметь в числителе достаточно множителей, чтобы сократить знаменатели дробей.

Чтобы определить, какое количество групп произведет целые числа, рассмотрим, что происходит при перемножении целых чисел и дробей:

1. Группа, содержащая только целые числа.
   Если все три числа в группе целые, их произведение всегда будет целым числом. Например, для группы $2, 3, 4$ произведение равно $24$, что целое число.

2. Группа, содержащая дроби.
   Если в группе есть дроби, необходимо, чтобы числитель произведения был кратен всем знаменателям дробей. Например, если в группе есть дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, произведение будет равно $\frac{1}{6}$, что не является целым числом.

3. Группа, содержащая и целые числа, и дроби.
   Чтобы произведение было целым числом, числитель произведения должен быть кратен всем знаменателям дробей. Например, если в группе есть числа $2$, $\frac{1}{2}$ и $3$, произведение будет равно $3$, что целое число, потому что $2 \times \frac{1}{2} \times 3 = 3$.

Стратегия для максимального количества целых чисел

Для того чтобы максимизировать количество целых чисел среди произведений, следует разбить числа на группы так, чтобы в каждой группе было как можно больше целых чисел. Каждое произведение будет целым числом, если группа содержит хотя бы два целых числа и одну дробь. В таком случае дробь всегда будет сокращаться.

Таким образом, наибольшее количество целых произведений можно получить, если из 9 целых чисел составить 3 группы, каждая из которых будет содержать 2 целых числа и одну дробь. Тогда для каждой группы произведение будет целым числом.

Ответ

Максимальное количество целых чисел среди произведений этих 6 групп равно 3.