Помогите пожалуйста. найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x)=x^3-4x^2+5x-1

Ответы на вопрос

Отвечает Кара-Сал Диана.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1$ , нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем первую производную функции

Первая производная функции покажет, где функция возрастает или убывает. Для функции $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1$ производная будет:

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x^2 + 5x - 1)

Используем правила дифференцирования:

f'(x) = 3x^2 - 8x + 5

2. Находим критические точки

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю:

3x^2 - 8x + 5 = 0

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант для этого уравнения равен:

\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4

Корни уравнения можно найти по формуле:

x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 2}{6}

Получаем два корня:

x_1 = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1

Таким образом, критические точки функции — это $x_1 = \frac{5}{3}$ и $x_2 = 1$ .

3. Определим знак первой производной

Теперь определим, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает. Для этого рассмотрим знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

Интервал $(-\infty, 1)$
Интервал $(1, \frac{5}{3})$
Интервал $(\frac{5}{3}, \infty)$

Проверим знак производной на каждом из этих интервалов, подставив значение из каждого интервала в выражение для $f'(x) = 3x^2 - 8x + 5$ .

Для интервала $(-\infty, 1)$ выберем точку $x = 0$ :

f'(0) = 3(0)^2 - 8(0) + 5 = 5 > 0

На интервале $(-\infty, 1)$ функция возрастает.

Для интервала $(1, \frac{5}{3})$ выберем точку $x = 1.2$ :

f'(1.2) = 3(1.2)^2 - 8(1.2) + 5 = 3 \cdot 1.44 - 9.6 + 5 = 4.32 - 9.6 + 5 = -0.28 < 0

На интервале $(1, \frac{5}{3})$ функция убывает.

Для интервала $(\frac{5}{3}, \infty)$ выберем точку $x = 2$ :

f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) + 5 = 3 \cdot 4 - 16 + 5 = 12 - 16 + 5 = 1 > 0

Последние заданные вопросы в категории Математика