найдите график функции y=1/x

График функции $y=\frac{1}{x}$ — это прямоугольная гипербола.

Как его построить вручную:

1. Проведите оси координат. Сразу отметьте асимптоты:
   • вертикальная $x=0$ (ось $Oy$);
   • горизонтальная $y=0$ (ось $Ox$).
   График к ним бесконечно приближается, но не пересекает.

2. Нанесите опорные точки:
   Для $x>0$: $(1,1),\ (2,\,0{,}5),\ \left(\tfrac12,\,2\right)$.
   Для $x<0$: $(-1,-1),\ (-2,\,-0{,}5),\ \left(-\tfrac12,\,-2\right)$.

3. Плавно соедините точки в две ветви, приближающиеся к осям:
   • одна ветвь в I квадранте (при $x>0$);
   • другая — в III квадранте (при $x<0$).

Основные свойства:

• Область определения: все $x\neq 0$.

• Область значений: все $y\neq 0$.

• Пересечений с осями нет.

• Нечётная функция: $f(-x)=-f(x)$ ⇒ центральная симметрия относительно начала координат.

• Является собственной обратной: график симметричен относительно прямой $y=x$ (так как из $y=\frac{1}{x}$ следует $x=\frac{1}{y}$).

• Монотонность: убывает на $(-\infty,0)$ и на $(0,+\infty)$ (так как $f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0$).

• Выпуклость: на $(0,+\infty)$ “вверх” ($f''(x)=\frac{2}{x^3}>0$), на $(-\infty,0)$ “вниз” ($f''(x)<0$).

Итог: искомый график — две убывающие ветви гиперболы в I и III квадрантах с асимптотами $x=0$ и $y=0$.