Периметры подобных треугольников относятся как 2:3, сумма их площадей равна 260. Найдите площадь большего треугольника.

Задача состоит в нахождении площади большего треугольника, если периметры двух подобных треугольников относятся как 2:3, а сумма их площадей равна 260.

1. Особенности подобных треугольников:
   Площадь подобного треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия (квадрат отношения соответствующих сторон). Если периметры двух треугольников относятся как 2:3, то и отношение их площадей будет равно квадрату этого отношения:

   $$\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}.$$

   Это означает, что площадь меньшего треугольника в 4 раза меньше площади большего треугольника, если они подобны.

2. Обозначим площади треугольников:
   Пусть площадь меньшего треугольника равна $S_1$, а площадь большего треугольника — $S_2$. Тогда:

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}.$$

   Это можно переписать как:

   $$S_1 = \frac{4}{9} S_2.$$

3. Сумма площадей:
   Из условия задачи известно, что сумма площадей этих треугольников равна 260:

   $$S_1 + S_2 = 260.$$

   Подставим $S_1 = \frac{4}{9} S_2$ в это уравнение:

   $$\frac{4}{9} S_2 + S_2 = 260.$$

   Приведем к общему знаменателю:

   $$\frac{4}{9} S_2 + \frac{9}{9} S_2 = 260.$$

   Получаем:

   $$\frac{13}{9} S_2 = 260.$$

   Умножим обе части уравнения на 9:

   $$13 S_2 = 260 \times 9 = 2340.$$

   Разделим обе части на 13:

   $$S_2 = \frac{2340}{13} = 180.$$

4. Ответ:
   Площадь большего треугольника равна 180 квадратных единиц.