Что из себя представляет функция y = tgx + ctgx? Область определения и значения, период.

Функция $y = \tan x + \cot x$ представляет собой сумму двух тригонометрических функций: тангенса и котангенса. Рассмотрим каждый из этих компонентов:

1. Тангенс ($\tan x$) — это отношение синуса к косинусу: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Она имеет особенности в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число.

2. Котангенс ($\cot x$) — это обратное тангенсу, то есть $\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$. Котангенс имеет особенности в точках, где $\sin x = 0$, то есть при $x = n\pi$, где $n$ — целое число.

Область определения функции

Для того чтобы функция $y = \tan x + \cot x$ имела смысл, необходимо, чтобы обе компоненты $\tan x$ и $\cot x$ были определены. Это означает, что $x$ не должен быть равен точкам, где $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$.

• $\tan x$ не определён при $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$.

• $\cot x$ не определён при $x = n\pi$.

Таким образом, область определения функции будет следующей:

Период

Тангенс и котангенс — периодические функции с периодом $\pi$. Период функции $y = \tan x + \cot x$ будет таким же, поскольку обе составляющие функции имеют период $\pi$.

Следовательно, период функции $y = \tan x + \cot x$ равен $\pi$.

Значения функции

Сумма тангенса и котангенса может принимать любые действительные значения. Функция не имеет ограничений по значению, поскольку и тангенс, и котангенс могут стремиться к бесконечности при приближении к точкам разрыва. Например, в окрестности $x = n\pi$, где $\cot x$ стремится к бесконечности, функция $y = \tan x + \cot x$ также будет иметь большие значения.

Таким образом, для функции $y = \tan x + \cot x$ область определения — это все значения $x$, за исключением точек $x = n\pi$ и $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, период равен $\pi$, а значения могут быть любыми действительными числами.