log2(4-x)+log2(1-2x)=2*log2 3

Для решения данного уравнения $\log_2(4 - x) + \log_2(1 - 2x) = 2 \cdot \log_2(3)$ давайте поэтапно упростим выражение.

1. Используем свойство логарифмов:

   Мы знаем, что $\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c)$, то есть логарифм суммы равен логарифму произведения. Применим это свойство к левой части уравнения:

   $$\log_2(4 - x) + \log_2(1 - 2x) = \log_2((4 - x) \cdot (1 - 2x))$$

   Теперь уравнение примет вид:

   $$\log_2((4 - x)(1 - 2x)) = 2 \cdot \log_2(3)$$

2. Перепишем правую часть уравнения:

   $2 \cdot \log_2(3)$ можно переписать как $\log_2(3^2)$, так как $n \cdot \log_b(a) = \log_b(a^n)$. Таким образом, уравнение становится:

   $$\log_2((4 - x)(1 - 2x)) = \log_2(9)$$

3. Применяем свойство логарифмов:

   Если $\log_b(a) = \log_b(c)$, то $a = c$. Таким образом, мы получаем:

   $$(4 - x)(1 - 2x) = 9$$

4. Раскрываем скобки:

   Раскроем произведение:

   $$(4 - x)(1 - 2x) = 4 \cdot 1 - 4 \cdot 2x - x \cdot 1 + x \cdot 2x$$

   Получаем:

   $$4 - 8x - x + 2x^2 = 9$$

   Упростим это:

   $$2x^2 - 9x + 4 = 9$$

5. Приводим уравнение к стандартному виду:

   Переносим все числа в одну сторону:

   $$2x^2 - 9x + 4 - 9 = 0$$ $$2x^2 - 9x - 5 = 0$$

6. Решаем квадратное уравнение:

   Решим квадратное уравнение $2x^2 - 9x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого сначала находим дискриминант:

   $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$$

   Так как дискриминант положительный, у нас два корня. Находим их по формуле:

   $$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2}$$ $$x = \frac{9 \pm 11}{4}$$

7. Вычисляем корни:

   $$x_1 = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$$ $$x_2 = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

8. Проверка решений:

   Нам нужно проверить, не нарушают ли полученные корни условие существования логарифмов, то есть чтобы выражения внутри логарифмов оставались положительными.

   • Для $x = 5$:

     $$4 - x = 4 - 5 = -1 \quad (\text{отрицательное значение, логарифм не существует})$$