Докажите, что графиком уравнения \( x^2 - y^2 = 0 \) является пара прямых \( y = x \) и \( y = -x \).

Уравнение $x^2 - y^2 = 0$ можно преобразовать следующим образом:

Теперь, извлекая корень из обеих частей, получаем:

Это означает, что $x = y$ или $x = -y$, то есть график уравнения состоит из двух прямых: $y = x$ и $y = -x$.

Таким образом, график уравнения $x^2 - y^2 = 0$ действительно является парами прямых, и эти прямые имеют уравнения $y = x$ и $y = -x$.

Рассмотрим теперь их геометрическое значение. Прямая $y = x$ — это прямая, проходящая через начало координат (0,0) и наклоненная под углом 45° к осям. Прямая $y = -x$ также проходит через начало координат, но наклонена под углом -45° к осям.

Таким образом, эти две прямые делят плоскость на четыре области, и их пересечение происходит в точке (0,0), что подтверждает правильность нашего вывода.