Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решим задачу поэтапно, используя обозначения и формулы.

1. Обозначения:

   • Пусть скорость велосипедиста равна $v_b$ км/ч.

   • Пусть скорость мотоциклиста равна $v_m$ км/ч.

   • Длина трассы — 30 км.

2. Расстояния и время:

   • Велосипедист выехал первым, и через 30 минут, или $\frac{1}{2}$ часа, его расстояние будет равно $\frac{1}{2} \times v_b$ км.

   • Мотоциклист выехал через 30 минут, и через 10 минут он догнал велосипедиста. Это время составляет $\frac{1}{6}$ часа (10 минут = $\frac{10}{60}$ часа). За это время мотоциклист преодолевает расстояние $v_m \times \frac{1}{6}$ км.

   • Так как мотоциклист догнал велосипедиста, это означает, что за время, прошедшее с момента старта мотоциклиста, расстояние, которое он прошел, равно расстоянию, которое прошел велосипедист. Мотоциклист догнал велосипедиста через 10 минут, и за это время велосипедист прошел $\frac{1}{6} \times v_b$ км.

3. Уравнение для первого догоняния:
   Мотоциклист за $\frac{1}{6}$ часа проезжает такое расстояние, которое на 10 минут позже догоняет велосипедиста. Значит:

   $$\frac{1}{6} \times v_m = \frac{1}{2} \times v_b + \frac{1}{6} \times v_b.$$

   Упростим уравнение:

   $$\frac{1}{6} \times v_m = \frac{2}{6} \times v_b + \frac{1}{6} \times v_b = \frac{3}{6} \times v_b = \frac{1}{2} \times v_b.$$

   Отсюда:

   $$v_m = 3 \times v_b.$$

   То есть скорость мотоциклиста в три раза больше скорости велосипедиста.

4. Уравнение для второго догоняния:
   Через 30 минут после первого догоняния мотоциклист снова догнал велосипедиста. Это означает, что за 30 минут (или $\frac{1}{2}$ часа) мотоциклист и велосипедист проехали одинаковые расстояния, причем мотоциклист проехал большее расстояние, чем велосипедист, за счет своей большей скорости.

   За 30 минут велосипедист проедет $\frac{1}{2} \times v_b$ км, а мотоциклист за это время проедет $\frac{1}{2} \times v_m$ км. Поскольку мотоциклист догнал велосипедиста, разница в их расстояниях за это время равна длине трассы:

   $$\frac{1}{2} \times v_m - \frac{1}{2} \times v_b = 30.$$

   Подставим $v_m = 3 \times v_b$:

   $$\frac{1}{2} \times (3 \times v_b) - \frac{1}{2} \times v_b = 30,$$ $$\frac{3}{2} \times v_b - \frac{1}{2} \times v_b = 30,$$ $$\frac{2}{2} \times v_b = 30,$$ $$v_b = 30 \, \text{км/ч}.$$

5. Скорость мотоциклиста:
   Так как $v_m = 3 \times v_b$