Чему равен радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если его гипотенуза равна 25 см, а один из катетов на 5 см больше другого?

Для нахождения радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника нужно воспользоваться формулой, которая связывает радиус вписанной окружности с его сторонами. Формула выглядит так:

где:

• $a$ и $b$ — катеты треугольника,

• $c$ — гипотенуза.

В нашем случае гипотенуза $c = 25$ см, а один из катетов на 5 см больше другого, то есть пусть катеты равны $a$ и $b = a + 5$.

Шаг 1. Находим катеты через гипотенузу

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется равенство:

Подставим известные значения:

Раскроем скобки и упростим:

Вычтем 625 из обеих сторон:

Разделим на 2:

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

где $a = 1$, $b = 5$, $c = -300$. Подставим в формулу:

Таким образом, $a = \frac{-5 + 35}{2} = 15$ или $a = \frac{-5 - 35}{2} = -20$. Поскольку длина катета не может быть отрицательной, то $a = 15$ см.

Шаг 2. Находим второй катет

Так как $b = a + 5$, то $b = 15 + 5 = 20$ см.

Шаг 3. Находим радиус вписанной окружности

Теперь, зная длины катетов $a = 15$ и $b = 20$, а также гипотенузы $c = 25$, можем найти радиус вписанной окружности по формуле:

Ответ: радиус вписанной окружности равен 5 см.