Вычислите log8(64 ⁴√2) б) 25¹-⁻log⁵₁₀

Для начала разберем оба выражения по порядку.

1. log₈(64 ⁴√2):

• Преобразуем 64 как степень числа 8. Мы знаем, что 64 = 8².

• Следовательно, выражение можно записать как log₈(8² * ⁴√2).

• ⁴√2 можно выразить как 2^(1/4), и это дает нам выражение log₈(8² * 2^(1/4)).

Теперь используем свойство логарифмов, что logₐ(x * y) = logₐ(x) + logₐ(y):

log₈(8² * 2^(1/4)) = log₈(8²) + log₈(2^(1/4))

• log₈(8²) = 2, так как 8² = 8^2.

• log₈(2^(1/4)) можно преобразовать, используя правило logₐ(x^b) = b * logₐ(x). Поскольку log₈(2) = 1/3 (так как 8 = 2^3), получаем log₈(2^(1/4)) = (1/4) * (1/3) = 1/12.

Теперь складываем два значения:

2 + 1/12 = 24/12 + 1/12 = 25/12.

Ответ: 25/12.

2. 25¹⁻⁻log⁵₁₀:

Это выражение можно интерпретировать как 25^(1 - log₅₁₀).

Для начала, вычислим log₅₁₀. Это означает, что мы ищем степень, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 10. Это логарифм по основанию 5 от числа 10, и его приближенное значение равно 1.4307.

Теперь заменим в выражении log₅₁₀ на это приближенное значение:

25^(1 - 1.4307) = 25^(-0.4307).

Далее, 25 можно представить как 5², тогда выражение становится:

(5²)^(-0.4307) = 5^(-0.8614).

Ответ: 5^(-0.8614).

В результате оба ответа:

• log₈(64 ⁴√2) = 25/12,

• 25¹⁻⁻log⁵₁₀ = 5^(-0.8614).