Пусть x1 и x2 - корни уравнения x^2+7x+1=0Найдите x1^2*x2^4+x1^4*x2^2 (1 корень в квадрате умножить на 2 корень в четвертой степени плюс 1 корень в четвертой степени умножить на 2 корень в квадрате.

Для того чтобы решить задачу, сначала найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 1 = 0$. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

В нашем уравнении $a = 1$, $b = 7$, $c = 1$. Подставляем эти значения в формулу:

Таким образом, корни уравнения $x_1 = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-7 - 3\sqrt{5}}{2}$.

Теперь нам нужно найти выражение $x_1^2 \cdot x_2^4 + x_1^4 \cdot x_2^2$. Для этого воспользуемся свойствами корней.

1. Используем сумму и произведение корней:
   Известно, что для любого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, сумма и произведение корней выражаются через коэффициенты уравнения:

   $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{1} = -7$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$$

2. Вычисление выражения:
   Нам нужно найти $x_1^2 \cdot x_2^4 + x_1^4 \cdot x_2^2$. Заметим, что это выражение имеет симметричную структуру, и его можно упростить, используя тот факт, что $x_1 \cdot x_2 = 1$. Рассмотрим его разложение:

   $$x_1^2 \cdot x_2^4 + x_1^4 \cdot x_2^2 = (x_1^2 \cdot x_2^2) \cdot (x_2^2 + x_1^2)$$

   Теперь нужно найти $x_1^2 + x_2^2$. Используем формулу:

   $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2$$