Решите уравнение \((x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1\).

Для решения уравнения $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1$ начнём с преобразования и упрощения выражений.

1. Разкроем скобки во втором выражении:

Таким образом, уравнение становится:

2. Теперь, сосредоточимся на первом выражении. Раскроем квадрат:

Используем формулу квадрата бинома:

Применим её для $a = x^2$, $b = 5x$, и $c = 7$:

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

Упростим уравнение:

4. Переносим все члены в одну сторону:

Теперь у нас получается полное многочленное уравнение четвёртой степени:

5. Для решения этого уравнения можно попробовать методы подбора корней или численные методы. Начнем с подбора рациональных корней с использованием теоремы о возможных рациональных корнях. Возможные корни — это делители свободного члена 42, то есть $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$.

6. Проверим корень $x = 1$:

$x = 1$ не является корнем.

Проверим $x = 2$: