решить неравенство 1) x(x+8)(2-3x)>0 уравнение (x²+4x)(x²+4x-17)+60=0

Для того чтобы решить неравенство $x(x+8)(2-3x) > 0$ и уравнение $(x^2 + 4x)(x^2 + 4x - 17) + 60 = 0$, давайте разберем их по очереди.

Часть 1. Решение неравенства $x(x+8)(2-3x) > 0$

1. Найдем нули выражения, при которых каждый множитель равен нулю:

   • $x = 0$ — первый множитель.

   • $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$ — второй множитель.

   • $2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$ — третий множитель.

Таким образом, мы получаем, что нули выражения — это $x = 0$, $x = -8$, и $x = \frac{2}{3}$.

2. Построим числовую ось и разобьем ее на интервалы:

   • $(-\infty, -8)$

   • $(-8, 0)$

   • $(0, \frac{2}{3})$

   • $(\frac{2}{3}, \infty)$

3. Теперь проверим знак выражения на каждом интервале. Для этого подставим произвольные значения из каждого интервала в исходное неравенство.

   • Для интервала $(-\infty, -8)$, например, $x = -9$:

     $$x(x+8)(2-3x) = (-9)(-9+8)(2 - 3(-9)) = (-9)(-1)(2 + 27) = (-9)(-1)(29) = 261 > 0$$

     Значит, знак на этом интервале положительный.

   • Для интервала $(-8, 0)$, например, $x = -4$:

     $$x(x+8)(2-3x) = (-4)(-4+8)(2 - 3(-4)) = (-4)(4)(2 + 12) = (-4)(4)(14) = -224 < 0$$

     Значит, знак на этом интервале отрицательный.

   • Для интервала $(0, \frac{2}{3})$, например, $x = 0.5$:

     $$x(x+8)(2-3x) = (0.5)(0.5+8)(2-3(0.5)) = (0.5)(8.5)(0.5) = 2.125 > 0$$

     Значит, знак на этом интервале положительный.

   • Для интервала $(\frac{2}{3}, \infty)$, например, $x = 1$:

     $$x(x+8)(2-3x) = (1)(1+8)(2-3(1)) = (1)(9)(-1) = -9 < 0$$

     Значит, знак на этом интервале отрицательный.

4. Теперь, на основе анализа знаков, получаем, что неравенство $x(x+8)(2-3x) > 0$ выполнено для интервалов:

   $$(-\infty, -8) \cup (0, \frac{2}{3})$$

Часть 2. Решение уравнения $(x^2 + 4x)(x^2 + 4x - 17) + 60 = 0$

1. Введем замену: $u = x^2 + 4x$. Тогда уравнение примет вид:

   $$u(u - 17) + 60 = 0$$

   Раскроем скобки:

   $$u^2 - 17u + 60 = 0$$

   Это квадратное уравнение. Решим его по формуле дискриминанта:

   $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$$

   Корни уравнения:

   $$u_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 7}{2} = 12$$