Сколько существует различных восьмизначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 2?

Рассмотрим восьмизначные числа (первая цифра не ноль) с суммой цифр 2.

Сумма 2 настолько мала, что возможны только такие варианты:

1. Первая цифра 2, остальные нули: ровно одно число
     20000000.

2. Первая цифра 1, и ещё одна из оставшихся семи цифр равна 1 (остальные нули).
   Выбор позиции второй единицы среди 7 мест даёт 7 чисел:
   11000000, 10100000, 10010000, 10001000, 10000100, 10000010, 10000001.

Случаи, где первая цифра 0 и какая-то другая цифра равна 2, не подходят — это уже не восьмизначные числа.

Итого: $1 + 7 = 8$ чисел.

Эквивалентно можно посчитать «звёздами и перегородками»: пусть $d_1,\dots,d_8\ge 0$ — цифры, $d_1\ge 1$, $d_1+\cdots+d_8=2$. Положим $x_1=d_1-1\ge 0$, а $x_i=d_i$ для $i\ge 2$. Тогда $x_1+\cdots+x_8=1$. Число неотрицательных решений — $\binom{1+8-1}{8-1}=\binom{8}{7}=8$.

Ответ: 8.