1. Число 7 возвели в 19 степень, полученное число вновь возвели в 19 степень и т.д. Возведение продолжено 2007 раз. Определите последнюю цифру полученного числа. 2. Найдите x и y в числе 5678xy̅, которое кратно 24.

1) После первого возведения имеем $7^{19}$. После второго: $(7^{19})^{19}=7^{19^2}$. Вообще, после $k$-го раза получаем $7^{19^k}$. Значит, после 2007 раз:

Последняя цифра степеней 7 циклична по модулю 10 с периодом 4: $7,9,3,1$. Нужно знать показатель по модулю 4:

(степень нечетная). Значит, берём третий элемент цикла — последняя цифра равна 3.

2) Число $\overline{5678xy}$ кратно 24 $\Leftrightarrow$ кратно 3 и 8.

• Кратно 3: сумма цифр $5+6+7+8+x+y=26+x+y$ кратна 3 $\Rightarrow x+y\equiv 1\pmod 3$.

• Кратно 8: последние три цифры $8xy$ кратны 8. Это означает $800+10x+y\equiv 0\pmod 8\Rightarrow 10x+y\equiv 0\pmod 8\Rightarrow y\equiv 6x\pmod 8$.

Перебирая цифры $x\in\{0,\dots,9\}$ и учитывая $y\equiv 6x\pmod 8$ (то есть $y$ — равный этому остатку или этому остатку плюс 8, если остаётся цифрой), получаем пары $(x,y)$, которые также удовлетворяют $x+y\equiv 1\pmod 3$:

Следовательно, подходят числа 567816, 567840, 567864, 567888.

1) Последняя цифра

После первого шага имеем $7^{19}$, после второго — $(7^{19})^{19}=7^{19^2}$, … после 2007-го — $7^{19^{2007}}$.

Последняя цифра степеней 7 повторяется с периодом 4: $7,9,3,1,\dots$
Нужно вычислить $19^{2007}\bmod 4$. Так как $19\equiv3\pmod4$, то $3^{\text{нечётное}}\equiv3\pmod4$. Значит, $19^{2007}\equiv3\pmod4$.

Следовательно, берём третий элемент цикла для 7: последняя цифра — 3.

Ответ к 1): 3.

2) Число $5678xy$ кратно 24

$24=3\cdot8$, а $\gcd(3,8)=1$, значит число должно быть кратно 3 и 8 одновременно.

• Кратность 3: сумма цифр делится на 3.
  $5+6+7+8+x+y=26+x+y$ ⇒ нужно $x+y\equiv1\pmod3$.

• Кратность 8: последние три цифры $8xy$ делятся на 8.
  Так как $800$ делится на 8, условие эквивалентно $10x+y\equiv0\pmod8$, то есть $2x+y\equiv0\pmod8$.

Подбор по условию $2x+y\equiv0\pmod8$ даёт пары:

Из них оставляем те, где $x+y\equiv1\pmod3$:

Проверка: последние три цифры $816,840,864,888$ делятся на 8, а суммы цифр $33,30,36,42$ делятся на 3.

Ответ к 2): ((x,y)\in{(1,6),(4,0),(6,4),(8,8)}.