1)sin(х-Пи/4)=корень из 2/2 2)cos(-Пи/3-5х)=1/2 3)tg(x/2-Пи/4)=корень из 3 4)ctg(x+Пи/8)=-корень из 3

Решу по одному уравнению, указывая общий вид решений (k∈ℤ).

1. $\sin\big(x-\tfrac{\pi}{4}\big)=\tfrac{\sqrt2}{2}$

$\sin y=\tfrac{\sqrt2}{2}$ при $y=\tfrac{\pi}{4}+2\pi k$ или $y=\tfrac{3\pi}{4}+2\pi k$.
Положим $y=x-\tfrac{\pi}{4}$:

• $x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4}+2\pi k \Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$;

• $x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}+2\pi k \Rightarrow x=\pi+2\pi k$.

Ответ: $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$ или $x=\pi+2\pi k$.

2. $\cos\!\big(-\tfrac{\pi}{3}-5x\big)=\tfrac12$

Косинус чётный: $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$, значит $\cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}+5x\big)=\tfrac12$.
$\cos z=\tfrac12$ при $z=2\pi k\pm\tfrac{\pi}{3}$. Тогда:

• $\tfrac{\pi}{3}+5x=2\pi k+\tfrac{\pi}{3}\Rightarrow 5x=2\pi k\Rightarrow x=\tfrac{2\pi}{5}k$;

• $\tfrac{\pi}{3}+5x=2\pi k-\tfrac{\pi}{3}\Rightarrow 5x=2\pi k-\tfrac{2\pi}{3}\Rightarrow x=\tfrac{2\pi}{5}k-\tfrac{2\pi}{15}$.

Ответ: $x=\tfrac{2\pi}{5}k$ или $x=\tfrac{2\pi}{5}k-\tfrac{2\pi}{15}$.

3. $\tg\!\big(\tfrac{x}{2}-\tfrac{\pi}{4}\big)=\sqrt3$