Верны ли высказывания: если два угла с общей вершиной равны, то они вертикальные?

Короткий ответ: нет, утверждение неверно.

Почему: равенство углов при общей вершине вовсе не заставляет их быть вертикальными (т.е. противоположными при пересечении двух прямых). Два типичных контрпримера:

1. Возьмите любой угол ∠AOB и проведите его биссектрису OC. Тогда ∠AOC = ∠COB, но эти углы смежные, а не вертикальные.

2. Пусть прямые l и m перпендикулярны и пересекаются в точке O. Тогда все четыре образовавшихся угла — прямые. Любая соседняя пара, например ∠AOC и ∠COB, равны по 90°, но они не вертикальные (вертикальными будут противоположные пары).

Верно только обратное: если углы вертикальные, то они равны.