Задача: кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно: на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево. Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть: а) в точку 6; б) в точку 7?

Да, сможет.

Разберём закономерность. Прыжки чередуются: +5, затем −3, снова +5, −3 и т.д. За каждые два прыжка суммарный сдвиг равен $5-3=2$. Отсюда:

• после чётного числа прыжков он стоит в точке $2n$ (все чётные числа, начиная с 2; 0 — только в начале);

• после нечётного числа прыжков — в точке $2n+5$ (все нечётные числа, начиная с 5).

Первые позиции:
0 → 5 → 2 → 7 → 4 → 9 → 6 → 11 → …

а) Точка 6 — чётная и ≥2, значит достижима. Например:
0 → 5 → 2 → 7 → 4 → 9 → 6 (6 прыжков).

б) Точка 7 — нечётная и ≥5, значит достижима. Например:
0 → 5 → 2 → 7 (3 прыжка).

Итого: в обе точки попасть можно.