Чем отличается катет от гипотенузы?

Катет и гипотенуза — это стороны прямоугольного треугольника, но выполняют разные “роли”.

• Положение.
  Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла (90°), это всегда самая длинная сторона треугольника.
  Катеты — две стороны, которые образуют прямой угол между собой.

• Обозначения и формулы.
  Обычно катеты обозначают $a$ и $b$, гипотенузу — $c$. Между ними выполняется теорема Пифагора:

  $$c^2 = a^2 + b^2.$$

  Отсюда $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, а любой катет можно найти как

  $$a = \sqrt{c^2 - b^2}, \quad b = \sqrt{c^2 - a^2}.$$

• Тригонометрия.
  Для острого угла $\alpha$ в треугольнике:

  $$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \quad \tan\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.$$

  То есть в формулах синуса и косинуса именно гипотенуза стоит в знаменателе.

• Свойства длин.
  Гипотенуза строго больше любого катета: $c > a$ и $c > b$.
  Каждый катет короче гипотенузы, но их сумма больше гипотенузы (неравенство треугольника): $a + b > c$.

• Как “на глаз” отличить.
  Найдите прямой угол — сторона, лежащая напротив него, и будет гипотенузой. Две стороны, которые сходятся в вершине прямого угла, — катеты.

Коротко: катеты образуют прямой угол, гипотенуза лежит напротив него и самая длинная; между ними действует $c^2=a^2+b^2$.