В равнобедренной трапеции основания равны 29 и 50, а острый угол равен 60 градусов. Найдите её периметр.

Для нахождения периметра равнобедренной трапеции, где основания равны 29 и 50, а острый угол равен 60 градусов, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Обозначим элементы трапеции:

   • Пусть $AB$ — верхнее основание (29 единиц),

   • $CD$ — нижнее основание (50 единиц),

   • $AD$ и $BC$ — боковые стороны, которые равны между собой, так как трапеция равнобедренная,

   • $\angle DAB = 60^\circ$ — острый угол при основании $AB$.

2. Найдём высоту трапеции:
   Поскольку угол между боковой стороной и верхним основанием равен 60°, можно использовать тригонометрию. Опустим перпендикуляр из точки $C$ на основание $AB$, обозначив точку пересечения как $H$. Таким образом, высота $h = CH$ будет равна:

   $$h = AD \cdot \sin(60^\circ)$$

   Для вычисления длины боковой стороны $AD$, сначала определим расстояние $AH$. Это будет разница между основаниями, разделённая пополам, так как трапеция равнобедренная:

   $$AH = \frac{CD - AB}{2} = \frac{50 - 29}{2} = 10.5$$

   Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ADH$, где $AH = 10.5$, а угол $\angle DAB = 60^\circ$, находим длину боковой стороны $AD$:

   $$AD = \frac{AH}{\cos(60^\circ)} = \frac{10.5}{0.5} = 21$$

3. Нахождение периметра трапеции:
   Периметр трапеции вычисляется как сумма всех её сторон:

   $$P = AB + CD + 2 \cdot AD$$

   Подставляем известные значения:

   $$P = 29 + 50 + 2 \cdot 21 = 29 + 50 + 42 = 121$$

Таким образом, периметр трапеции равен 121.