В правильной четырёхугольной призме высота равна 12 см, а диагональ боковой грани — 13 см. Найти площадь поверхности призмы.

Для нахождения площади поверхности правильной четырёхугольной призмы нужно вычислить площадь её боковых граней и двух оснований.

1. Дано:

   • Высота призмы $h = 12$ см.

   • Диагональ боковой грани $d = 13$ см.

2. Найдем сторону основания:

   В правильной четырёхугольной призме боковые грани — это прямоугольные треугольники. Один из катетов этого треугольника — это высота призмы $h$, а второй катет — это сторона основания призмы $a$. Диагональ боковой грани является гипотенузой этого треугольника.

   Используем теорему Пифагора:

   $$d^2 = h^2 + a^2$$

   Подставляем значения:

   $$13^2 = 12^2 + a^2$$ $$169 = 144 + a^2$$ $$a^2 = 169 - 144 = 25$$ $$a = 5 \, \text{см}$$

   Таким образом, сторона основания призмы $a = 5$ см.

3. Площадь боковых граней:

   Площадь боковой поверхности состоит из четырёх прямоугольных граней. Каждая грань имеет размеры $a$ (сторона основания) и $h$ (высота призмы).

   Площадь одной боковой грани:

   $$S_{\text{боковой}} = a \times h = 5 \times 12 = 60 \, \text{см}^2$$

   Площадь четырёх боковых граней:

   $$S_{\text{боковой}} = 4 \times 60 = 240 \, \text{см}^2$$

4. Площадь оснований:

   Основания призмы — это квадратные поверхности с стороной $a = 5$ см. Площадь одного основания:

   $$S_{\text{основания}} = a^2 = 5^2 = 25 \, \text{см}^2$$

   Площадь двух оснований:

   $$S_{\text{основания}} = 2 \times 25 = 50 \, \text{см}^2$$

5. Площадь поверхности призмы:

   Площадь поверхности призмы — это сумма площади боковых граней и площади двух оснований:

   $$S_{\text{поверхности}} = S_{\text{боковой}} + S_{\text{основания}} = 240 + 50 = 290 \, \text{см}^2$$

Таким образом, площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 290 см².