Для участия в студенческих соревнованиях из первой группы выделено 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй, третьей группы попадёт в сборную, равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, используем теорему Байеса, которая позволяет вычислить условную вероятность. Нам нужно найти вероятность того, что студент принадлежал определённой группе, учитывая, что он попал в сборную.

Обозначим:

• $A_1$, $A_2$, $A_3$ — события, что студент принадлежит первой, второй и третьей группе соответственно.

• $B$ — событие, что студент попал в сборную.

Нам нужно найти условную вероятность $P(A_1 | B)$, $P(A_2 | B)$ и $P(A_3 | B)$, то есть вероятность того, что студент принадлежал к той или иной группе, если он попал в сборную.

Шаг 1. Используем теорему Байеса

Теорема Байеса для каждой группы будет выглядеть следующим образом:

где $P(B | A_i)$ — вероятность того, что студент попадет в сборную, если он принадлежит группе $A_i$, а $P(A_i)$ — вероятность того, что выбранный студент принадлежит группе $A_i$. $P(B)$ — это общая вероятность того, что студент попадёт в сборную, независимо от группы.

Шаг 2. Находим все необходимые вероятности

1. Вероятности попадания в сборную:

   • Для группы 1: $P(B | A_1) = 0,9$

   • Для группы 2: $P(B | A_2) = 0,7$

   • Для группы 3: $P(B | A_3) = 0,8$

2. Вероятности того, что выбранный студент принадлежит каждой группе:

   • В группе 1 всего 4 студента из 15 (4 + 6 + 5) — $P(A_1) = \frac{4}{15}$

   • В группе 2 всего 6 студентов из 15 — $P(A_2) = \frac{6}{15}$

   • В группе 3 всего 5 студентов из 15 — $P(A_3) = \frac{5}{15}$

3. Общая вероятность того, что студент попадёт в сборную:
   Это сумма вероятностей того, что студент попадёт в сборную из каждой группы, умноженная на вероятность того, что студент принадлежит этой группе. То есть:

   $$P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) + P(B | A_3) \cdot P(A_3)$$

   Подставляем значения:

   $$P(B) = 0,9 \cdot \frac{4}{15} + 0,7 \cdot \frac{6}{15} + 0,8 \cdot \frac{5}{15}$$ $$P(B) = \frac{3,6}{15} + \frac{4,2}{15} + \frac{4}{15} = \frac{11,8}{15}$$

Шаг 3. Рассчитываем условные вероятности

Теперь вычислим $P(A_1 | B)$, $P(A_2 | B)$ и $P(A_3 | B)$.