Найдите производную \( F(x) = e^{x^3} \).

Для нахождения производной функции $F(x) = e^{x^3}$ используем правило дифференцирования сложных функций (цепное правило).

1. Функция $F(x) = e^{x^3}$ является композицией двух функций:

   • Внешняя функция: $e^u$, где $u = x^3$,

   • Внутренняя функция: $u = x^3$.

2. Сначала найдем производную внешней функции по её аргументу $u$. Производная экспоненты $e^u$ по $u$ равна $e^u$.

3. Теперь найдем производную внутренней функции $u = x^3$ по $x$. Производная $x^3$ по $x$ равна $3x^2$.

4. Согласно цепному правилу, производная функции $F(x)$ будет произведением производной внешней функции на производную внутренней функции:

   $$F'(x) = \frac{d}{dx}\left(e^{x^3}\right) = e^{x^3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = e^{x^3} \cdot 3x^2.$$

Итак, производная функции $F(x) = e^{x^3}$ равна: