(5x+7)*(8-x)>0

Для того чтобы решить неравенство $(5x + 7)(8 - x) > 0$, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Найдем корни уравнения:

   Чтобы решить неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $(5x + 7)(8 - x) = 0$.

   Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   • $5x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{5}$

   • $8 - x = 0 \Rightarrow x = 8$

   Итак, корни уравнения — это $x = -\frac{7}{5}$ и $x = 8$.

2. Определим интервалы:

   Эти корни делят числовую прямую на три интервала:

   • $x < -\frac{7}{5}$

   • $-\frac{7}{5} < x < 8$

   • $x > 8$

3. Проверим знак произведения на каждом интервале:

   Чтобы определить, на каких интервалах произведение $(5x + 7)(8 - x)$ больше нуля, нужно проверить знак выражения на каждом интервале.

   • Для интервала $x < -\frac{7}{5}$:

     • Выберем, например, $x = -2$.

     • $5(-2) + 7 = -10 + 7 = -3$ (отрицательное число),

     • $8 - (-2) = 8 + 2 = 10$ (положительное число),

     • Произведение $(-3) \times 10 = -30$, то есть оно отрицательное.

   • Для интервала $-\frac{7}{5} < x < 8$:

     • Выберем, например, $x = 0$.

     • $5(0) + 7 = 7$ (положительное число),

     • $8 - 0 = 8$ (положительное число),

     • Произведение $7 \times 8 = 56$, то есть оно положительное.

   • Для интервала $x > 8$:

     • Выберем, например, $x = 10$.

     • $5(10) + 7 = 50 + 7 = 57$ (положительное число),

     • $8 - 10 = -2$ (отрицательное число),

     • Произведение $57 \times (-2) = -114$, то есть оно отрицательное.

4. Ответ на неравенство:

   Произведение будет положительным на интервале $-\frac{7}{5} < x < 8$.

   Таким образом, решением неравенства $(5x + 7)(8 - x) > 0$ является интервал:

   $$-\frac{7}{5} < x < 8$$