Составь всевозможные четырехзначные числа, сумма цифр которых равна 3. Сколько всего чисел получилось?

Чтобы составить все четырёхзначные числа, сумма цифр которых равна 3, давайте рассмотрим это как задачу о нахождении всех возможных решений для уравнения:

где $a, b, c, d$ — цифры четырёхзначного числа, причём $a$ — цифра тысяч (она не может быть нулём, так как число четырёхзначное), а $b, c, d$ — цифры десятков, сотен и единиц соответственно, которые могут быть любыми числами от 0 до 9.

Так как сумма цифр равна 3, то можно представить задачу как задачу о распределении 3 единиц между четырьмя цифрами с учётом того, что первая цифра $a$ не может быть меньше 1 (она должна быть хотя бы 1, иначе число будет не четырёхзначным).

1. Рассмотрим, что $a$ — минимум 1, так как это обязательное условие для четырёхзначного числа.

2. Тогда можно записать $a' = a - 1$, где $a'$ — это изменённая переменная, которая теперь может быть 0 или больше.

3. Теперь у нас есть уравнение для новых переменных $a' + b + c + d = 2$, где $a', b, c, d$ — это неотрицательные числа.

Эта задача сводится к задаче о нахождении всех неотрицательных решений для уравнения $a' + b + c + d = 2$, что можно решить с помощью формулы для нахождения числа неотрицательных решений уравнений с ограничениями:

Здесь $\binom{5}{3}$ — это сочетание из 5 по 3, которое равно 10.

Таким образом, существует 10 четырёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 3.