log5(3x-1)+log5(3x-5)=1

Чтобы решить уравнение $\log_5(3x - 1) + \log_5(3x - 5) = 1$, применим свойства логарифмов и шаг за шагом решим его.

1. Используем свойство логарифмов:
   Согласно свойству логарифмов, $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$. В нашем случае:

   $$\log_5(3x - 1) + \log_5(3x - 5) = \log_5((3x - 1)(3x - 5))$$

   Теперь уравнение принимает вид:

   $$\log_5((3x - 1)(3x - 5)) = 1$$

2. Переводим логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму:
   Логарифмическое уравнение $\log_5 A = 1$ эквивалентно $A = 5^1$. То есть:

   $$(3x - 1)(3x - 5) = 5$$

3. Раскрываем скобки и упрощаем:
   Раскроем выражение в левой части:

   $$(3x - 1)(3x - 5) = 9x^2 - 15x - 3x + 5 = 9x^2 - 18x + 5$$

   Теперь у нас получается уравнение:

   $$9x^2 - 18x + 5 = 5$$

4. Приводим уравнение к стандартному виду:
   Вычитаем 5 из обеих частей:

   $$9x^2 - 18x = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение:
   Вынесем общий множитель $9x$:

   $$9x(x - 2) = 0$$

   Это уравнение имеет два корня:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2$$

6. Проверяем найденные корни:

   • Для $x = 0$:
     Подставим в исходное уравнение $\log_5(3x - 1) + \log_5(3x - 5)$:

     $$\log_5(3(0) - 1) + \log_5(3(0) - 5) = \log_5(-1) + \log_5(-5)$$

     Логарифм от отрицательного числа не существует, следовательно, $x = 0$ не является решением.

   • Для $x = 2$:
     Подставим в исходное уравнение:

     $$\log_5(3(2) - 1) + \log_5(3(2) - 5) = \log_5(6 - 1) + \log_5(6 - 5) = \log_5(5) + \log_5(1)$$

     Так как $\log_5(1) = 0$, уравнение сводится к:

     $$\log_5(5) + 0 = 1$$

     Это верно, так как $\log_5(5) = 1$.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 2$.