площадь фигуры,ограниченной линиями у=5-x в квадрате, у=1

Ответы на вопрос

Отвечает Магомедов Мухаммад.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = 5 - x^2$ и $y = 1$ , необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривых

Для этого приравняем уравнения $5 - x^2$ и $1$ :

5 - x^2 = 1

Решим это уравнение:

x^2 = 4

x = \pm 2

Таким образом, кривые пересекаются в точках $x = -2$ и $x = 2$ .

2. Найти область интегрирования

Площадь, ограниченную этими кривыми, можно выразить через интеграл. Мы будем интегрировать разницу между верхней кривой $y = 5 - x^2$ и нижней прямой $y = 1$ от $x = -2$ до $x = 2$ :

\text{Площадь} = \int_{-2}^{2} \left( (5 - x^2) - 1 \right) \, dx

Упростим выражение под интегралом:

\text{Площадь} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx

3. Вычислить интеграл

Рассчитаем интеграл:

\int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3}

Теперь подставим пределы интегрирования:

\left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}

Подставляем $x = 2$ :

4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}

Подставляем $x = -2$ :

4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{24}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}

Теперь находим разницу:

\frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}

4. Ответ

Площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = 5 - x^2$ и $y = 1$ , равна $\frac{32}{3}$ квадратных единиц.

Последние заданные вопросы в категории Математика