Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошёл 15 км по течению реки и такое же расстояние против течения. Найти скорость течения реки, если было затрачено 4 ч.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим:

• $v_c$ — скорость катера относительно воды (8 км/ч);

• $v_t$ — скорость течения реки (которую нужно найти);

• $v_{down} = v_c + v_t$ — скорость катера по течению;

• $v_{up} = v_c - v_t$ — скорость катера против течения.

Задача говорит, что катер прошёл по 15 км по течению и против течения, потратив на это в сумме 4 часа.

1. Время на путь по течению:

   $$t_{down} = \frac{15}{v_{down}} = \frac{15}{v_c + v_t} = \frac{15}{8 + v_t}$$

2. Время на путь против течения:

   $$t_{up} = \frac{15}{v_{up}} = \frac{15}{v_c - v_t} = \frac{15}{8 - v_t}$$

3. Общее время на оба пути равно 4 часа, то есть:

   $$t_{down} + t_{up} = 4$$

   Подставим выражения для $t_{down}$ и $t_{up}$:

   $$\frac{15}{8 + v_t} + \frac{15}{8 - v_t} = 4$$

4. Теперь решим это уравнение. Приведём его к общему знаменателю:

   $$\frac{15(8 - v_t) + 15(8 + v_t)}{(8 + v_t)(8 - v_t)} = 4$$

   Упростим числитель:

   $$15(8 - v_t) + 15(8 + v_t) = 15 \times 8 - 15 v_t + 15 \times 8 + 15 v_t = 240$$

   В знаменателе используем формулу разности квадратов:

   $$(8 + v_t)(8 - v_t) = 8^2 - v_t^2 = 64 - v_t^2$$

   Получаем:

   $$\frac{240}{64 - v_t^2} = 4$$

5. Умножим обе стороны уравнения на $64 - v_t^2$:

   $$240 = 4(64 - v_t^2)$$

   Раскроем скобки:

   $$240 = 256 - 4v_t^2$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$4v_t^2 = 256 - 240 = 16$$

   Разделим обе стороны на 4:

   $$v_t^2 = 4$$

   Извлекаем квадратный корень:

   $$v_t = 2$$