√3 cos2x = 3 - 3(sinx + cosx)²

Рассмотрим данное уравнение:

Для начала упростим правую часть уравнения. Раскроем квадрат суммы:

По тригонометрической тождеству $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, получаем:

Теперь подставим это в исходное уравнение:

Упростим правую часть:

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством для $\sin(2x)$, которое гласит, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Таким образом, $-6\sin(x)\cos(x)$ можно записать как $-3 \sin(2x)$, и уравнение примет вид:

Для дальнейшего решения разделим обе стороны на $\cos(2x)$ (при условии, что $\cos(2x) \neq 0$):

Теперь выразим $\tan(2x)$:

Зная, что $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, мы можем заключить, что:

где $n$ — целое число.

Теперь решим для $x$:

Таким образом, общее решение уравнения:

где $n$ — целое число.