Найдите все натуральные значения \( a \), при которых одновременно дробь \( \frac{a}{11} \) будет правильной, а дробь \( \frac{a}{6} \) — неправильной.

Для того чтобы решить задачу, необходимо разобраться с условиями для дробей.

1. Правильная дробь: Это дробь, числитель которой меньше знаменателя.

2. Неправильная дробь: Это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю.

Мы ищем все натуральные значения $a$, при которых:

• $\frac{a}{11}$ является правильной дробью, то есть $a < 11$,

• $\frac{a}{6}$ является неправильной дробью, то есть $a \geq 6$.

Теперь, чтобы удовлетворить обоим условиям:

• Из первого условия $a$ должно быть меньше 11, то есть $a < 11$,

• Из второго условия $a$ должно быть больше или равно 6, то есть $a \geq 6$.

Таким образом, $a$ должно удовлетворять условию: $6 \leq a < 11$.

Натуральные числа, которые подходят под это условие: $a = 6, 7, 8, 9, 10$.

Ответ: все натуральные значения $a$, которые подходят под эти условия: $6, 7, 8, 9, 10$.