Вычислить: log₃((log₂ 5) * (log₅ 8))

Для того чтобы вычислить выражение $\log_3 \left( (\log_2 5) \times (\log_5 8) \right)$, разобьем его на несколько шагов.

1. Вычисление $\log_2 5$:

   $\log_2 5$ — это логарифм числа 5 по основанию 2. Для его вычисления можно воспользоваться формулой перевода логарифмов:

   $$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

   Где $c$ — это произвольное основание логарифма, например, основание 10 или основание $e$ (натуральный логарифм). Для простоты используем логарифмы по основанию 10:

   $$\log_2 5 = \frac{\log 5}{\log 2}$$

   При этом значения логарифмов по основанию 10:

   $$\log 5 \approx 0.69897, \quad \log 2 \approx 0.30103$$

   Тогда:

   $$\log_2 5 = \frac{0.69897}{0.30103} \approx 2.32$$

2. Вычисление $\log_5 8$:

   Теперь вычислим $\log_5 8$. Также воспользуемся формулой перевода логарифмов:

   $$\log_5 8 = \frac{\log 8}{\log 5}$$

   Известно, что:

   $$\log 8 = 3 \log 2 \approx 3 \times 0.30103 = 0.90309$$

   Таким образом:

   $$\log_5 8 = \frac{0.90309}{0.69897} \approx 1.29$$

3. Вычисление произведения $\log_2 5 \times \log_5 8$:

   Теперь, когда мы знаем значения логарифмов:

   $$\log_2 5 \times \log_5 8 \approx 2.32 \times 1.29 \approx 2.99$$

4. Вычисление $\log_3 (2.99)$:

   Теперь вычислим $\log_3 (2.99)$. Используем тот же метод перевода логарифмов, что и раньше:

   $$\log_3 (2.99) = \frac{\log 2.99}{\log 3}$$

   При этом значения логарифмов:

   $$\log 2.99 \approx 0.476, \quad \log 3 \approx 0.477$$

   Тогда:

   $$\log_3 (2.99) = \frac{0.476}{0.477} \approx 0.998$$

Таким образом, результат вычисления $\log_3 \left( (\log_2 5) \times (\log_5 8) \right) \approx 1$.