Доказать, что сумма кубов первых n натуральных чисел равна (n²(n+1)²)/4.

Ответы на вопрос

Отвечает Ошакбаева Наргиз.

Для доказательства того, что сумма кубов первых $n$ натуральных чисел равна $\frac{n^2 (n+1)^2}{4}$ , используем математическую индукцию.

Шаг 1: Базовый случай

Для $n = 1$ проверим, что формула верна:

Сумма кубов первых 1 числа:

1^3 = 1

По формуле:

\frac{1^2 (1+1)^2}{4} = \frac{1^2 \cdot 2^2}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4} = 1

Таким образом, для $n = 1$ формула верна.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что для некоторого $n = k$ формула верна. То есть, мы предполагаем, что:

1^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \frac{k^2 (k+1)^2}{4}

Шаг 3: Индукционный шаг

Теперь нужно доказать, что для $n = k+1$ формула также верна. То есть, нужно показать, что:

1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4}

По индукционному предположению мы знаем, что:

1^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \frac{k^2 (k+1)^2}{4}

Добавляем к обеим частям уравнения $(k+1)^3$ :

1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{k^2 (k+1)^2}{4} + (k+1)^3

Теперь преобразуем правую часть:

\frac{k^2 (k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + (k+1) \right)

= (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + \frac{4(k+1)}{4} \right)

= (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4(k+1)}{4} \right)

= (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right)

= (k+1)^2 \left( \frac{(k+2)^2}{4} \right)

= \frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4}

Таким образом, мы доказали, что если формула верна для $n = k$

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос