Какие остатки могут получиться при делении разных чисел на 16?

При делении на 16 возможны ровно 16 разных остатков:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Почему так:

1. При делении любого натурального числа $n$ на 16 мы можем записать его в виде

   $$n = 16 \cdot q + r,$$

   где

   • $q$ — целая часть (частное),

   • $r$ — остаток.

2. По определению деления с остатком, этот остаток всегда удовлетворяет условию:

   $$0 \le r < 16.$$

   То есть остаток не может быть отрицательным и не может быть больше или равен 16.

3. Значит, все возможные значения остатка — это именно числа от 0 до 15 включительно.

Примеры для наглядности:

• $16 : 16 = 1$, остаток 0

• $17 : 16 = 1$, остаток 1

• $18 : 16 = 1$, остаток 2

• $31 : 16 = 1$, остаток 15

• $32 : 16 = 2$, остаток 0

• $33 : 16 = 2$, остаток 1

• $47 : 16 = 2$, остаток 15

И так далее: у каждого числа при делении на 16 остаток обязательно будет одним из этих 16 вариантов.

Важно:

• Каждому числу соответствует ровно один остаток при делении на 16.

• Каждый из остатков от 0 до 15 встречается у бесконечно многих чисел. Например, остаток 5 имеют числа 5, 21, 37, 53, 69, … (все числа вида $16k + 5$).

Итак, ответ: при делении разных чисел на 16 возможны только остатки от 0 до 15.