Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб со стороной 6 и острым углом 60 градусов.

Ответы на вопрос

Отвечает Кайыргедьдина Фариза.

Рассуждение такое.

Есть прямая четырёхугольная призма, в основании — ромб со стороной 6 и острым углом $60^\circ$ . Нужно найти боковое ребро (высоту призмы), если меньшая диагональ призмы равна 10.

1. Найдём диагонали ромба

Пусть сторона ромба $a = 6$ , острый угол $\alpha = 60^\circ$ .

Известно, что диагонали ромба можно выразить через сторону и угол:

d_1 = 2a\cos\frac{\alpha}{2}, \quad d_2 = 2a\sin\frac{\alpha}{2}.

Подставим:

\frac{\alpha}{2} = 30^\circ, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.

Тогда

d_1 = 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3},

d_2 = 2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 6.

Сравниваем:

6\sqrt{3} \approx 10{,}39 > 6,

значит меньшая диагональ основания равна 6.

2. Что такое диагонали призмы

Призма прямая, боковые рёбра перпендикулярны основанию. Пространственная диагональ призмы проходит между двумя вершинами, не лежащими в одной грани.

Для прямой призмы с высотой $h$ и диагональю основания $d$ длина пространственной диагонали, идущей по этой диагонали основания, равна:

D = \sqrt{d^2 + h^2}

(обычный прямоугольный треугольник: одна катет — диагональ основания, другой — высота призмы, гипотенуза — диагональ призмы).

У нас в основании два вида диагоналей: $6$ и $6\sqrt{3}$ . Соответственно, существуют две разные длины пространственных диагоналей:

D_{\text{меньшая}} = \sqrt{6^2 + h^2}, \quad D_{\text{большая}} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + h^2}.

Очевидно, при одном и том же $h$ :

\sqrt{6^2 + h^2} < \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + h^2},

то есть меньшей диагонали призмы соответствует меньшая диагональ основания — 6.

По условию меньшая диагональ призмы равна 10, значит:

\sqrt{6^2 + h^2} = 10.

3. Находим высоту (боковое ребро)

Решаем уравнение:

\sqrt{36 + h^2} = 10.

Возводим в квадрат:

36 + h^2 = 100,

h^2 = 100 - 36 = 64,

h = 8

(берём положительное значение, так как длина ребра — величина положительная).

Ответ

Боковое ребро призмы равно $8$ .

Последние заданные вопросы в категории Математика

Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб со стороной 6 и острым углом 60 градусов. Меньшая диагональ призмы равна 10. Найдите боковое ребро.